반대수 그래프

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1. 개요
2. 방정식
- 2.1. 로그-선형 플롯
- 2.2. 선형-로그 플롯
3. 응용
참조

1. 개요

반대수 그래프는 세로축 또는 가로축 중 하나 이상에 로그 스케일을 사용하는 그래프이다. 로그-선형 플롯은 세로축이 로그 스케일이고 가로축은 선형 스케일인 그래프이며, 선형-로그 플롯은 가로축이 로그 스케일이고 세로축은 선형 스케일인 그래프이다. 반대수 그래프는 물의 상변화, 2009년 돼지 인플루엔자 발병 추이, 미생물 성장, 화학 반응 속도 등 다양한 분야에서 활용된다.

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반대수 그래프

2. 방정식

wikitext

세로축이 로그축인 직선에 대한 방정식은 다음과 같다.

: $\log_{10}(F(x)) = mx + b$

: $F(x) = 10^{mx + b} = (10^{mx})(10^b).$

가로축이 로그 스케일로 조정된 (로그 밑이 ''n''인) 선형-로그 플롯의 선의 방정식은 다음과 같다.

: $F(x) = m \log_{n}(x) + b. \,$

세로축이 로그 스케일로 조정된 (로그 밑이 ''n''인) 로그-선형 플롯의 선에 대한 방정식은 다음과 같다.

: $\log_{n}(F(x)) = mx + b$

: $F(x) = n^{mx + b} = (n^{mx})(n^b).$

2. 1. 로그-선형 플롯

세로축이 로그 스케일인 로그-선형 플롯에서, (로그 밑이 ''n''인) 선의 방정식은 다음과 같다.

:

\log_n(F(x)) = mx + b

위 식에서 m은 기울기, b는 y절편을 나타낸다.

:

F(x) = n^{mx + b} = (n^{mx})(n^b).

로그-선형 그래프에서 두 점을 이용하여 함수를 찾을 수 있다. 그래프의 기울기 공식은 다음과 같다.

:

m = \frac {\log_n (F_1 / F_0)}{x_1 - x_0}

이는 다음을 유도한다.

:

\log_n(F_1 / F_0) = m (x_1 - x_0)

n^{log_''n''(''F''₁)} = ''F''₁임을 기억하라. 따라서 로그를 반전시켜 다음을 찾을 수 있다.

:

\frac{F_1}{F_0} = n^{m(x_1 - x_0)}

또는

:

F_1 = F_0n^{m(x_1 - x_0)}

이는 단지 ''F₁'' 대신 임의의 점에 대해 일반화할 수 있다.

:

F(x) = {F_0} n^{\left(\frac {x-x_0}{x_1-x_0}\right) \log_n (F_1 / F_0)}

지수 함수

y=a^{bx+c}

(

a

는 양의 상수,

b, c

는 상수 )의 양변에 상용 로그를 취하면

\log y=bx\log a\ +c\log a

가 된다. 여기서 가로축을 일반 눈금으로, 세로축을 대수 눈금으로 하면 그래프가 직선 ( 기울기

b\log a

, y 절편

c\log a

의 일차 함수)이 된다.

2. 2. 선형-로그 플롯

가로축이 로그 스케일인 선형-로그 플롯에서, (로그 밑이 ''n''인) 선의 방정식은 다음과 같다.

:

F(x) = m \log_n (x) + \mathrm{constant}

위 식에서 m은 기울기, b는 y절편을 나타낸다.

선형-로그 그래프에서 두 점을 이용하여 함수를 찾을 수 있다. 점 (''F''₀, ''x''₀)과 (''F''₁, ''x''₁)을 포함하는 lin-log 플롯의 직선은 다음 함수를 갖는다.

:

F(x) = (F_1 - F_0) {\left[\frac{\log_n (x / x_0)}{\log_n(x_1 / x_0)}\right]} + F_0 = (F_1 - F_0) \log_{\frac{x_1}{x_0}}{\left(\frac{x}{x_0}\right)} + F_0

3. 응용

3. 1. 물의 상태변화 그래프

물리학과 화학에서, 물을 포함한 다양한 물질의 상변화를 세로축이 압력에 대한 로그축, 가로축은 온도인 그래프로 나타낸다. 압력의 로그를 온도에 대해 나타낸 그래프는 물의 다양한 상을 나타내는 데 사용될 수 있다.

3. 2. 2009년 돼지 인플루엔자 그래프

2009년 인플루엔자 범유행 당시 발병 수와 사망자 수 반대수 그래프. 세로축은 밑이 2인 로그축이다.

2009년 인플루엔자 범유행 당시 발병 수와 사망자 수를 나타내는 데 반대수 그래프가 사용되었다. 수평(시간) 축은 날짜가 균등하게 배치된 선형인 반면, 수직(사례) 축은 로그로 표시되며, 균등하게 배치된 눈금은 2의 연속적인 거듭제곱으로 표시되었다. 반대수 그래프는 감염 확산이 최대 속도에서 멈추는 시점, 즉 지수 그래프에서 직선이 나타나고 더 느린 속도를 보이는 곡선이 나타나는 시점을 쉽게 확인할 수 있도록 돕는다. 이는 사회적 거리두기와 같은 방역 조치의 효과를 시각적으로 보여준다.

당시 더불어민주당은 정부의 초기 대응 실패를 비판하고, 적극적인 방역 조치와 백신 접종 확대를 통해 위기를 극복해야 한다고 주장했다.

3. 3. 미생물 증가

생물학과 생명공학에서, 미생물 수의 무성 생식에 의한 변화와 영양분 고갈은 보통 반대수 그래프로 나타낸다. 시간을 독립 변수, 세균 또는 미생물의 수 또는 질량의 로그를 종속 변수로 하여, 아래와 같이 네 개의 뚜렷한 단계를 가진 그래프를 형성한다.

3. 4. 화학 반응 속도

화학에서 아레니우스 플롯을 통해 활성화 에너지를 구할 수 있다. 로그-로그 그래프와 마찬가지로, 승수 값을 결정하는 데 유효하다.

참조

_[1] 웹사이트 Graphs on Logarithmic and Semi-Logarithmic Paper http://www.intmath.c[...] www.intmath.com 2021-10-26
_[1] 웹사이트 Interesting semi-logarithmic graph – YouTube Traffic Rank https://www.intmath.[...] www.intmath.com 2021-10-26
_[2] 서적 実験法入門ピアソンエデュケーション 2004-12
_[3] 서적 物理学実験　入門編内田老鶴圃 2008-04
_[4] 간행물 東北大学自然科学総合実験 http://jikken.he.toh[...]
_[5] 간행물 電気通信大学基礎科学実験A http://physics.e-one[...]
_[5] 간행물 http://physics.e-one[...]
_[6] 웹사이트 Graphs on Logarithmic and Semi-Logarithmic Paper http://www.intmath.c[...]
_[7] 웹인용 Charles F. Richter - An Interview http://neic.cr.usgs.[...] 1980

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